Следствия из теоремы Коши

Следствие 1. Аксиома 11 (аксиома Коши для многосвязной области).

Если функция аналитическая в многосвязной области D, ограниченной контуром L и внутренними по отношению к нему контурами l1, l2,…, lk и непрерывна в замкнутой области (рис. 32), где знаки в верхних индексах означают направления обходов, то

либо . (21)

либо , (рис. 33). (21/)

Следствие 2. Интегралы от аналитических функций Следствия из теоремы Коши повдоль всех 2-ух кусочно-гладких кривых с общим началом z0 и концом z1 равны.

, если замкнутый контур (рис. 34).

Следствие 3.Интеграл от аналитической функции, данной в односвязной области D, зависит только от исходной и конечной точек пути интегрирования:

Следствие 4. Интеграл при фиксированном z0 является функцией верхнего предела: Ф(z), где Ф Следствия из теоремы Коши(z) является аналитической в области D и Ф/(z) = f(z). Следствие 5. Если – аналитическая функция в односвязной области D, то Ф(z) именуется первообразной либо неопределенным интегралом от функции , при этом если F(z) – одна из первообразных для , то . (22)

Аксиома 12 (интегральная формула Коши).

Значение функции , аналитической в односвязной области D Следствия из теоремы Коши, в особенной точке определяется ее значениями на любом замкнутом кусочно-гладком контуре l, обхватывающем точку z0 , полностью лежащем совместно со собственной внутренностью в области D (рис. 35), и рассчитывается по формуле:

.

При всем этом функция имеет везде в D производные хоть какого порядка, для которых справедливы формулы:

k =1, 2,… (23)

Замечание Следствия из теоремы Коши 1.Из формулы (23) можно отыскать значение криволинейного интеграла вида:

, (24)

где z0 – особенная точка функции , лежащая снутри контура l.

Замечание 2.

Следствие (из аксиомы 12).Если функция аналитическая в замкнутой односвязной области , где L – граница области D, , то имеет место формула:

Замечание.При вычислении интеграла вида , где аналитическая функция в односвязной области , – многочлен, не Следствия из теоремы Коши имеющий нулей на контуре L, комфортно воспользоваться правилами:

1) Если в области D нет нулей многочлена , то по формуле (20) .

2) Если в области D размещен один обычной нуль z = z0 многочлена , тогда , где f(z) – аналитическая функция в области .

3) Если в области D размещен один кратный нуль z = z0 многочлена кратности k Следствия из теоремы Коши, тогда , где f(z) – аналитическая функция в области .

4) Если в области D размещено два нуля z = z1, z = z2 многочлена , то по формуле (21) , где l1 и l2 – границы непересекающихся окружностей точек z = z1, z = z2.

Аксиома 13 (аксиома Лиувилля).

Если функция аналитическая и ограниченная во всей плоскости Следствия из теоремы Коши Гаусса, то .

Пример 3. Вычислить интеграл по данному контуру: , где : .

Решение.

Контур L : – уравнение окружности с центром сначала координат и радиусом . D – область снутри окружности (рис. 36).

Найдем особенные точки подынтегральной функции , т.е. точки, где знаменатель обращается в нуль: , особенные точки. Данные точки не лежат снутри контура интегрирования L (рис. 35), т.е Следствия из теоремы Коши. . Как следует, по аксиоме Коши (формула 19 либо по правилу 1 замечания),

Пример 4. Вычислить интеграл по данному контуру: .

Решение.

– уравнение окружности с центром в точке z = i и радиусом 1. D1 – область снутри окружности (рис. 37). , особенные точки подынтегральной функции (отыскали в примере 3). Из их точка , точка .

Потому разглядим многосвязную область Следствия из теоремы Коши D, ограниченную окружностью и внутренним контуром (рис. 38).

Тогда в этой области функция аналитическая, и по следствию 1 (аксиоме Коши для многосвязной области (формула (21/)) можем записать, что , т.е. = .

Данный интеграл вычислим с помощью интегральной формулы Коши (24): . Для этого выделим в знаменателе необыкновенную точку: = (k = 0, ) = =

Замечание.Данный пример можно решить, используя следствие Следствия из теоремы Коши к аксиоме 12, не выделяя внутреннюю область, ограниченную контуром l либо по правилу 2 предшествующего замечания.

Пример 5. Вычислить интеграл по данному контуру: .

Решение.

– уравнение окружности с центром в точке z = i и радиусом 3. D1 – область снутри окружности (рис. 39).

, особенные точки функции (отыскали в примере 3). Они обе лежат снутри контура. Потому разглядим многосвязную Следствия из теоремы Коши область D, ограниченную окружностью и 2-мя внутренними контурами и (рис. 40).

Тогда в этой области функция аналитическая, и по следствию 1 (аксиоме Коши для многосвязной области (формула (21/)) можем записать, что , т.е.

= = (выделим в знаменателях особенные точки) =

= +

= .

Пример 6. Вычислить интеграл по данному контуру: .

Решение.

– уравнение окружности с центром в точке z Следствия из теоремы Коши = –i и радиусом 2. D1 – область снутри окружности (рис. 41).

Найдем особенные точки: , – особенные точки, при этом имеет кратность равную 2.

Знаменатель обращается в нуль снутри контура в особенной точке 2-ая особенная точка . Тогда в области D функция аналитическая, кроме нуля, и по следствию к аксиоме 12 либо правилу 3 из замечания к Следствия из теоремы Коши следствию можем записать, что

= (k = 1, ) =

= .


slovar-deskriptorov.html
slovar-eksperimentatora.html
slovar-fototerminov-s-kartinkami.html